Динамическая симметрия
2. Этапы математизации
Процесс математизации теоретического уровня каждой конкретной науки идет по-своему. Но вместе с тем можно выделить и некоторые общие этапы:
1) Выбор адекватных параметров
Этап выбора адекватных параметров количественного описания той формы и вида движения, который изучает данная наука. На этом этапе идет накопление экспериментальных данных и данных наблюдений, составляются таблицы и графики, на основе которых делают первые количественные предсказания. Теоретическая механика прошла этот этап еще в древние времена, когда люди научились предсказывать многие космические явления, например, затмения Солнца и Луны. Физика и химия вступили в этот этап еще в Средние Века. Биологические науки первый этап математизации прошли в XVII-XVIII веках. Социальные науки только в XVIII-XX веках отделились от философии и сейчас многие из них находятся именно на первом этапе математизации. Что касается гуманитарных наук, то они сейчас, по-видимому, еще переживают этап отделения от философии и говорить об их математизации еще преждевременно. Первый этап характеризуется слабым применением и изучением всех видов симметрии, и особенно динамической симметрии.
2) Аналитические алгебраические соотношения
Этап алгебраических аналитических соотношений между адекватными параметрами описания данного вида движения. Механика завершила этот этап во времена И.Кеплера и Г.Галилея в XVI веке. Для физики и химии второй этап математизации прошел в XVII-XIX веках. Для биологии этот этап наступает во времена Дарвина и Менделя. Социальные науки еще только вступают во второй этап математизации. Проявления динамической симметрии на втором этапе уже более конкретные и определенные. Ведь в процессе движения сохраняются алгебраические соотношения между количественными параметрами описания процесса. Однако, на этом этапе теория еще не дает способов находить теоретически новые независимые динамические инварианты движения.
3) Дифференциальные уравнения
Этап дифференциальных уравнений. Это самый революционный этап в развитии каждой науки. Это тот самый "рубикон" между преимущественным влиянием философии и преимущественным влиянием математики на развитие данной науки. Науку, вступившую в этот этап, начинают называть "точной наукой". Механика стала точной наукой после Ньютона и Лейбница. Физика стала точной наукой после Максвелла и Больцмана. Биология только сейчас вступает в этот этап и сейчас переживает свой переломный момент. Среди социальных наук только экономические науки пытаются вступить в третий этап математизации, но настоящая эпоха дифференциальных уравнений для них еще впереди.
Какие движения могут описывать дифференциальные уравнения? Все те, которые на малых временах и на малых расстояниях являются линейными, независимо от того линейный или нелинейный весь процесс в целом.
Мощь дифференциальных уравнений заключается, по-видимому, в том, что они верно отражают это глобальное свойство движения быть линейным на малых временах и расстояниях. Есть надежда на то, что движения, изучаемые социальными и гуманитарными науками, также обладают свойствами быть равноменрыми и прямолинейными на малых временах и расстояниях. И недостаточное проникновение (или, вообще, отсутствие) дифференциальных уравнений в эти науки связано с тем, что в своем развитии науки не могут перепрыгивать через свои закономерные этапы математизации, несмотря на желания людей.
На этапе дифференциальных уравнений уже имеются мощные средства для изучения динамической симметрии процесса, а также для изучения самого процесса методами динамической симметрии. Например, дифференциальные уравнения могут иметь так называемые интегралы движения, то есть аналитические функции параметров количественного описания, которые сохраняются во времени. Свойства инвариантности интегралов уравнений называется законом сохранения.
Некоторые характерные интегралы движения довольно часто встречаются в физике и механике. Их инвариантность называется классическими законами сохранения. Это законы сохранения энергии, импульса, количества вращения (момент импульса), фазового объема, заряда и другие. Кроме классических законов сохранения встречаются и специфические, которые присущи либо каким-нибудь специфическим конкретным системам и не встречаются в других системах, как, например, закон сохранения вектора Рунге-Ленца в задаче двух тел, либо встречаются во многих, но не механических системах, такие как закон сохранения четности, "странности", гиперзаряда, лептонного заряда, барионного заряда и т.п.
В теории дифференциальных уравнений существуют и методы поиска новых независимых интегралов или хотя бы доказательства их существования или отсутствия (в том числе и с применением компьютеров). Начало разработки этих методов положили знаменитые теоремы Э.Нётер, которые связывают между собой инвариантность уравнений движения относительно какой-либо группы преобразований с существованием интеграла движения для данного уравнения.
4) Методы симметрии
Этот этап характеризуется проникновением в конкретную науку самых разнообразных и мощных математических средств, но в первую очередь именно симметрийных методов, то есть теории групп и теории инвариантов. В механике этот этап начался в XIX веке, а в физике этот этап начался в XX веке и проходит по сегодняшний день. Четвертый этап характеризуется тем, что методы динамической симметрии становятся главными при исследовании данной конкретной формы движения.
5) Формализм
На последнем этапе математизации наступает своеобразная "смерть" теоретического уровня познания конкретной науки, то есть переход её в новую качественную стадию развития, которая характеризуется появлением нового раздела математики со своим набором аксиом и своим формализмом. На этой стадии только математические идеи являются двигателем теоретического уровня познания данной науки, в том смысле, что если появляется несоответствие между теорией и практикой, то это несоответствие в теории преодолевается исключительно математическими средствами, а не созданием новой теории. В данную стадию развития вступила классическая механика, став, по-существу, разделом математики. И сейчас в эту стадию вступают классическая электродинамика и статфизика.