Динамическая симметрия

ОГЛАВЛЕНИЕ

I. ВВЕДЕНИЕ

  1. Первая теория симметрии
  2. Основы современной теории симмертии

II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИММЕТРИИ

  1. Математизация
  2. Этапы математизации
    1) Выбор адекватных параметров
    2) Аналитические алгебраические соотношения
    3) Дифференциальные уравнения
    4) Методы симметрии
    5) Формализм
  3. Сокращенное описание
  4. Динамическая система

III. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

  1. Консервативные системы
  2. Открытые системы
    а) Организованные системы
    б) Самоорганизованные системы

IV. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

  1. Конкуренция
  2. Адиабатические инварианты

V. ПОРЯДОК И ХАОС - ОСНОВНЫЕ ТЕНДЕНЦИИ ЭВОЛЮЦИИ

VI. ЛИТЕРАТУРА

...

...

I. ВВЕДЕНИЕ

В последние десятилетия стало очевидным, что учение о симметрии представляет глубокие теории и эффективные методы изучения формы и структуры любых объектов, систем и процессов, как материальных, так и идеальных. Изучение симметрии природы и природы с точки зрения симметрии приводит к достаточно широким выводам. Симметрия - это фундаментальная особенность природы, она охватывает все формы движения и организации материи.

1. Первая теория симметрии

Человечество уже с самых древних времен встречалось с различными проявлениями симметрии и уже ко времени Пифагора и пифагорейцев понятие симметрии было оформлено достаточно четко. Это позволило пифагорейцам подвергнуть понятие симметрии серьезному анализу и, вообще говоря, создать первую довольно глубокую и смелую теорию симметрии. Так они ввели понятие σίμμετρία, которое выражало у них соразмерное, пропорциональное, гармоничное и понималось как способ согласования многих частей, с помощью которого те объединяются в целое. В своей теории симметрии они выделили 10 пар противоположностей, среди которых была и пара "правое-левое". Пифагорейская теория симметрии базировалась на их идеалистической философии, но в рамках этого идеализма развивалась диалектика, в частности учение о противоречиях как о противостоянии (антитетике) противоположностей. Сама же теория симметрии у них предстает как учение о симметрии специфических противоположностей. В их теории симметрии можно обнаружить многие диалектические черты, в том числе понимание того, что мир - это множество, которое состоит из противоположностей.

2. Основы современной теории симметрии

Современная теория симметрии еще более диалектична. Эта теория сильно связана с законом единства и борьбы противоположностей, и в первую очередь с такими категориями диалектики, как тождество и различие. Кроме того, просматривается связь и с другими категориями, такими как необходимость и случайность, причина и следствие, форма и содержание, система и элемент, элемент и структура, целое и часть.

Новые шаги в развитии теории симметрии происходили благодаря признанию равенства неравного, тождественности нетождественного. При этом логическим оправданием такого признания служило существование операций, превращающих эти нетождественные объекты друг в друга. А сами эти шаги были сделаны благодаря признанию существования различия и нетождественности внутри тождественного.

Яркой чертой этой линии развития теории симметрии является то, что постепенное расширение понятия равенства привело к постепенному расширению круга рассматриваемых преобразований и, наоборот, постепенное расширение круга рассматриваемых преобразований вызвало соответствующее изменение состава инвариантных свойств объекта. При этом понятие "преобразование" постепенно расширялось до понятия "изменение". В основу современной теории симметрии положено такое понятие о равенстве, при котором считаются равными все такие объекты, которые могут быть сделаны неотличимыми друг от друга по сравниваемым признакам посредством некоторых изменений.

При этом в современной теории симметрии в качестве взаимно равных стали приниматься и такие объекты, которые с обыденной точки зрения рассматриваются как заведомо существенно неравные. Причем, обнаруженные новые операции отождествления не являются простой перефразировкой уже известных фактов, т.к. каждый раз введение новой операции отождествления позволяло получить новые данные, которые невозможно было получить от простой суперпозиции ранее известных операций отождествления.

Обобщенное понимание равенства имеет большое методологическое значение, ибо позволяет думать, что существует не несколько десятков равенств, принятых сейчас в теории симметрии, а бесконечное число их. Это позволяет вводить в теорию самые различные, самые "сумасшедшие" равенства, если вместе с ними одновременно вводятся и соответствующие операции отождествления. В этом смысле проблема появления новых разделов теории симметрии теперь становится чуть ли не тривиальным делом, т.к. снимается покров таинственности с самого сложного вопроса учения о симметрии - вопроса о равенстве.

Итак, в процессе познания происходит процесс все большего отождествления различных объектов, что, вероятно, является одной из форм отражения единства Мира и всеобщей связи явлений и одной из форм познания этого единства и этой связи.

В литературе можно встретить разные определения понятия симметрии, более или менее абстрактные, акцентирующие внимание на тех или других сторонах этого явления. Для наших дальнейших целей достаточно будет привести следующее определение (авт. Урманцев Ю.А.):
Симметрия - это категория обозначающая признаки объектов вместе с такими изменениями, которые оставляют эти объекты тождественными самим себе по этим признакам.

Иначе говоря:
Симметрия - это категория, обозначающая инвариантность признаков объектов относительно некоторых изменений.

В определении симметрии присутствуют такие понятия как "объект", "изменения" и "инвариантные признаки".

Объект (не важно, материальный или идеальный) здесь введен в качестве носителя признаков и в качестве того, что, собственно говоря, изменяется при изменении. Объект является, с одной стороны, системой, порой со сложной иерархической структурой, а, с другой стороны, он сам выступает в качестве структурного элемента других систем.

Совокупность всех изменений, оставляющих инвариантными определенный набор признаков данного объекта, образует систему, называемую группой G, которая подчиняется следующим групповым аксиомам:

  1. Замыкание: композиция двух любых элементов группы дает снова элемент группы (если A,B€G, то AB€G).
  2. Ассоциативность: результат композиции упорядоченной тройки элементов группы не зависит от очередности выполнения композиции (если A,B,C€G, то (AB)C=A(BC)).
  3. Единичный элемент: существует такой элемент E€G, что для любого A€G имеет место AE=EA=A.
  4. Обратные элементы: для любого элемента A€G существует такой элемент A-1€G, что AA-1=A-1A=E.

Требования групповых аксиом не специфичны для каких бы то ни было форм существования и форм движения материи. Это приводит к поразительной применимости теории групп (а значит и теории симметрии) в различных науках. С помощью математического аппарата теории групп можно вывести всё многообразие объектов того же рода. В этом заключается мощь этой теории и её замечательные классификационные способности. Не любой набор аксиом приводит к эффективному математическому аппарату и, как следствие, к глубокому анализу бытия, а лишь такой набор, который отражает наиболее общую и в то же время достаточно содержательную природу вещей. Аксиомы теории групп, по-видимому, отражают объективную диалектику и диалектический характер познания мира вещей.

В определении симметрии содержится также такое понятие, как инвариантные признаки, т.е. симметрию можно изучать двояко: или на основе теории групп или на основе теории инвариантов. Зная группу изменений, можно однозначно определить множество инвариантных признаков и, наоборот, зная множество инвариантных признаков, всегда можно однозначно определить группу изменений. Теоретически ни один из этих двух путей развития учения о симметрии не предпочтетельнее другого, но в то же время они являются единственно возможными. Однако, на практике имея дело с конкретными симметриями, из соображений удобства предпочитают иметь дело либо с теорией групп, либо с теорией инвариантов.

Считается, что симметрия это общенаучная категория, а не общефилософская, т.к. хотя с симметрией и сталкиваются во всех науках, однако, не во всех науках симметрия является мощным методологическим средством познания. И не во всех науках симметрия является предметом исследования.

...

(Продолжение)