Основные типы колебаний

Существует очень много самых разных типов колебаний. Но три типа колебаний являются основными, к которым можно свести все остальные типы других колебаний. Это свободные колебания, вынужденные и автоколебания.

Свободные колебания

Свободные колебания, это когда система, выведенная из состояния равновесия, совершает колебания сами по себе без присутствия какой-либо внешней силы в замкнутой системе. То есть отсутствует такая внешняя сила, которая периодически меняется с некоторой частотой. Во время свободных колебаний у системы устанавливается своя частота таких колебаний. Эта частота свободных колебаний, в общем случае, зависит от амплитуды свободных колебаний. В случае линейной системы, эта частота не зависит от амплитуды.

Колебатальная система называется линейной, если дифференциальные уравнения, которые её описывают, имеют вид линейных дифференциальных уравнений, то есть функция зависимости координат от времени входит в эти уравнения только в первой степени. У нелинейных колебатальных систем дифференциальные уравнения содержат функцию координат от времени в степенях отличных от единицы.

Это не обязательно целочисленные показатели степени, типа 2, 3, 4 и т.д. В нелинейных дифференциальных уравнениях, это могут быть и дробные и отрицательные степени. А также, эти функции могут входить в уравнения и в каких-то других функциональных нелинейных зависимостях, например, под синусом или логарифмом. Так как эти функции можно представить в виде полиномов (например, через разложение в ряд Тейлора) со степенями отличными от единицы, то такие зависимости тоже считаются нелинейными.

В сильно нелинейных колебательных системах с двумя и более степенями свободы может происходить стохастизация колебаний. Для внешнего наблюдателя такая хаотизация свободных колебаний выглядит так, словно система совершает некоторые случайные движения. Разного рода автокорреляционные функции и коэффициенты корреляций такого движения могут ничем не отличаться от действительно хаотического движения под действием случайных внешних сил. Хотя вся система является замкнутой и движется под действием строгих динамических законов (например, в механике под действием строгих законов Ньютона).

Если в системе нет трения, то свободные колебания идут бесконечно долго с постоянной амплитудой. При наличие трения амплитуда свободных колебаний постепенно уменьшается до нуля и колебания прекращаются.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания, это когда на систему действует какая-нибудь внешняя периодическая сила и поэтому система совершает колебания с частотой внешнего воздействия.

Обратим внимание на то, что если система способна совершать свободные колебания, то она не сразу выходит на свой стационарный режим вынужденных колебаний с частотой, равной частоте внешней силы, а только через некоторое время после начала действия внешней силы. Если такая система является линейной, то в стационарном режиме у неё не только сохраняется постоянной частота колебаний, но и амплитуда, а также и сдвиг по фазе колебаний системы от фазы колебаний внешней силы.

Аналогичные явления могут иметь место и в нелинейных системах, которые могут совершать свободные колебания. А в сильно нелинейных колебательных системах, даже с одной степенью свободы, может наблюдаться стохастизация колебаний. При такой стохастизации в стационарном режиме вынужденных колебаний наблюдаются изменения амплитуды колебаний и сдвига по фазе. Внешние параметры такого движения неотличимы от ситуации, когда на систему дополнительно воздействует некоторая случайная сила, хотя на самом деле такой внешней силы нет и весь процесс строго детерминирован.

При совпадении частоты внешней силы с частотой свободных колебаний, происходит явление резонанса. В системе с отсутствием трения, это приводит к бесконечному росту амплитуды колебаний. В системе с трением наблюдается пик на зависимости амплитуды колебаний от частоты внешней силы.

Интересно отметить, что если частота колебаний внешней силы не лежит близко к частоте свободных колебаний системы, то отсутствие трения не приводит к бесконечному росту амплитуды колебаний. Это связано с тем, что из-за сдвига по фазе колебаний системы от фазы колебаний внешней силы, часть периода система движется против внешней силы. То есть часть периода система совершает работу против внешней силы. Поэтому отсутствует бесконечная накачка системы энергией от внешней силы. В стационарном режиме устанавливается такой сдвиг по фазе и амплитуда, чтобы сколько в систему приходит энергии, столько же её и тратилось на работу против внешней силы.

Именно поэтому даже в отсутствии трения колебательная внешняя сила не способна бесконечно накачать энергией колебательную систему, которая может совершать вынужденные колебания. За исключением случая резонанса, когда сдвиг по фазе становится нулевым и тем самым система не затрачивает энергию на совершение работы против внешней силы.

Автоколебания

Автоколебания, это когда на систему действует непериодическая (часто постоянная) внешняя сила, а система под действием такой силы совершает колебания с некоторой частотой.

Например, в маятниковых часах с гирями сила тяготения является постоянной и не совершает никаких колебаний. В обычных пружинных часах сила упругости также не меняется периодически по времени. В кварцевых часах используется постоянная сила тока от батарейки. В разного рода настольных игрушках и офисных безделушках, типа "вечный" двигатель или маятник Ньютона, также используются батарейки постоянного электрического тока. Когда у Вас в квартире гудит водопроводная труба, то это не означает, что появилась какая-то внешняя сила, которая трясет эту трубу или трясет воду в трубе, с частотой звуковых колебаний.

Как правило, чтобы автоколебательная система начала совершать постоянные автоколебания, её надо не просто вывести из состояния равновесия, а отклонить её от равновесного состояния на величину большую чем некоторая критическая амплитуда (или придать системе скорость большую, чем некоторая критическая скорость). После чего автоколебательная система начинает совершать незатухающие автоколебания и выйдет на некоторый свой стационарный режим автоколебаний. Если начальное отклонение системы меньше критического, то эти колебания затухают.

Автоколебательные системы, это всегда нелинейные системы и всегда системы с наличием трения.

В автоколебательных системах также могут наблюдаться явления динамического хаоса.

Для связанных автоколебательных систем характерны такие явления, как конкуренция частот и захват частоты. Впервые это явление заметили несколько столетий назад, когда несколько маятниковых часов, которые шли немного по разному (одни чуть отставали, другие чуть бежали вперед), поставили на один деревянный прилавок в магазине. Через несколько часов продавец заметил, что все часы начали идти с одинаковой скоростью. Поэтому, если у всех этих часов выставить одно и то же время, то теперь никто не будет отставать или бежать вперед.

У всех часов установилась некоторая равновесная частота автоколебаний за счет того, что по деревянному прилавку от каждых часов побежали волны колебаний, которые начали воздействовать на автоколебательные системы соседних часов в качестве дополнительной внешней периодической силы. Воздействие на соседние часы было тем больше, чем больше была энергия автоколебаний соседних часов и чем ближе они стояли рядом (так как энергия волн уменьшалась при увеличении расстояния до часов). Получалось, что каждые часы хотели навязать окружаюшим часам свою частоту вынужденных колебаний. В результате такой конкуренции у всех часов устанавливалась некоторая компромисная частота автоколебаний.

Если на одну деревянную доску поставить очень массивые маятниковые часы с достаточно большой энергией автоколебаний, а рядом поставить много маленьких часов с маленькими энергиями автоколебаний, причем, все частоты этих часов разные, то через некоторое время большие часы заставят все маленькие часы колебаться с частотой больших часов. Маленькие часы не смогут конкурировать с большими часами и "подчинятся" им.

А если все маленькие часы будут иметь одинаковую частоту автоколебаний и сумма всех энергий автоколебаний этих маленьких часов будет много больше энергии автоколебаний больших часов, то, наоборот, маленькие часы заставят большие часы подстроиться под них.

Наконец, если энергии автоколебаний всех маленьких часов, которые имеют одинаковую частоту, будет примерно одного порядка с энергией автоколебаний больших часов, то в системе установится некоторая компромисная частота автоколебаний всез часов.

Динамическая симметрия колебаний

Принцип симметрии Кюри утверждает, что группа симметрии системы всегда является подгруппой симметрии, которая является общей подгруппой группы симметрии самой системы и группы симметрии внешнего воздейстрия (внешнего поля.)

Колебания имеют трансляционную симметрию по времени. Но не непрерывную, а дискретную, с шагом, пропорциональным периоду колебаний.

В случае свободных колебаний с трением система стремиться к равновесному состоянию покоя с непрерывной трансляционной симметрией по времени. Эта та симметрия, которую имеет система.

В случае вынужденных колебаний система имеет такую группу симметрии, которая совпадает с максимальной общей подгруппой групп системы и внешнего воздействия.

А в случае автоколебаний система имеет тоже группу симметрии, которая является общей подгруппой группы системы и группы внешнего воздействия. Но эта подгруппа не является максимально возможной общей подгруппой. Эта подгруппа сама является подгруппой у такой максимально возможной общей подгруппы.

Обратите внимание, что принцип симметрии Кюри не запрещает того, чтобы группа симметрии системы была не максимально возможной общей подгруппой групп системы и воздействия. Когда эта группа не является максимальной, то говорят, что происходит спонтанное нарушение симметрии.