Хаос

Еще в начале XIX века французкий физик и инженер Сади Карно считал, что если бы мы могли написать систему уравнений движения каждой молекулы газа, и если бы такую систему уравнений удалось бы решить, то можно было бы написать, как зависят от времени координаты всех молекул газа. А зная, как зависят все координаты всех молекул от времени, можно было бы посчитать такие характеристики газа, как его давление и температура. Другими словами, вывести всю термодинамику из первых принципов, т.е. из механики Ньютона.

Кажется все очень логично и идея очень здравая. В самом деле, ведь каждая, отдельно взятая молекула любого тела движется под действием законов Ньютона, под действием обычных законов классической механики. Значит нужно писать уравнения движения каждой молекулы. Ведь именно так мы бы поступали, если бы молекул было бы всего одна или две или три. Так какая же принципиальная разница три молекулы в замкнутом объеме или 10 в 27-й степени.

Ну, конечно, решение 10 в 27-й степени уравнений "не потянет" ни один из современных компьютеров, и ни один из компьютеров обозримого будущего. Но нас в данном случае интересует сам принцип: верно ли, что всю термодинамику можно вывести из классической механики.

Если посмотреть на структуру такой науки как физика, то можно заметить, что центральное место в этой науке занимает классическая механика Ньютона. Все другие разделы физики связаны с ньютоновской механикой предельными переходами.

Например, если скорость света устремить к бесконечности, то Специальная Теория Относительности перейдет в классическую механику. Если постоянную Планка устремить к нулю, то вся квантовая механика будет совпадать с классической. Если темературу устремить к абсолютному нулю, то статистическая механика Больцмана становиться обычной механикой. То же самое нетрудно увидеть и в оптической геометрии, и в гидродинамике и т.д.

Аналогично, мы должны ожидать четкую логическую связь между термодинамикой и классической механикой. Иначе, наука физика не выглядит логически стройной. Но до сих пор этой четкой логической связи термодинамики и механики нет. Только в последние десятилетия наметился путь решения этой, пожалуй самой сложной и самой старой проблемы физики.

До середины XIX века казалось, что такой проблемы нет, Карно все очень хорошо объяснил. Казалось, что мы не можем вывести термодинамику из механики только по причине того, что у нас слишком много уравнений, которые численными методами будут решаться очень долго.

Но в середине XIX века Клаузиусом был открыт Второй Закон термодинамики, который гласит, что в замкнутых системах энтропия может только неубывать, т.е. или расти или оставаться постоянной. Здесь самое интересное то, что она может расти. Так вот, с точки зрения классической механики Ньютона в замкнутых системах энтропия никогда не может расти. Она в замкнутых системах всегда остается постоянной.

Напомню, что замкнутой системой называется такая система, в которой выполняется закон сохранения энергии (Первый Закон термодинамики). В классической механике такие системы называют гамильтоновыми. Они подчиняются обычным уравнениям Гамильтона.

Из уравнений Гамильтона следует очень интересная теорема Лиувиля. Представим себе фазовое пространство. Напомню, что фазовым пространством называют такое 2N-мерное пространство, координатами которого являются координаты и импульсы. Т.е. каждой степени свободы соответствует две независимые оси: координата и импульс. Поэтому, если в системе N степеней свободы, то размерность фазового прстранства будет 2N. Например, если мы имеем дела с частицей, у которой только одна степень свободы, то ее фазовое пространство двумерно. Любая система описывается одной точкой такого фазового пространства. При движении системы, точка фазового пространства начинает перемещаться по некоторой траектории в фазовом пространстве.

Назовем каплей фазовой жидкости непрерывную совокупность точек фазового пространства конечного объема. Если представит себе, что все точки такой капли фазовой жидкости явняются начальными условиями, т.е. начальными координатами и импульсами, то "запустив" время мы получим, что эта фазовая капля начнет как-то перемещаться по фазовому пространству и деформироваться. Ведь каждая точка такой капли начинает двигаться со временем, менять свои координаты и импульсы.

Так вот, суть теоремы Лиувиля в том, что, если система гамильтонова, то объем фазовой капли не меняется. Фазовая капля может как угодно деформироваться со временем, но ее фазовый объем остается тот же, что и в начальный момент времени. Это точный результат.

А если энтропия в замкнутой системе растет, то фазовая капля должна увеличиваться в объеме. И это полностью противоречит выводам, сделанным на основании классической механики.

-----------------------------------------------

Продолжение здесь