III. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1. Консервативные системы
Среди всех динамических систем, прежде всего, можно выделить такие, которые в процессе своего движения не изменяют свою динамическую симметрию. Это консервативные системы не способные к развитию. Отличительной чертой таких систем является их замкнутость и изолированность.
Если это материальные системы, то к ним не поступает, в общем случае, энергия из вне. Если это идеальные системы, то к ним не поступает, в общем случае, информация из вне. Движение таких систем является не эволюционным, а инволюционным. Инволюция не меняет симметрию системы. Инволюционное движение представляет собой изменения под действием однопараметрической коммутативной подгруппы простой группы, то есть группы, не допускающей нетривиальных гомоморфизмов. Иначе говоря, эту группу можно отобразить только на тривиальную группу, состоящую только из одного единичного элемента, описывающего состояние покоя.
Отображаемость инволюции на состояние покоя совсем не случайно, так как инволюция это ничто иное, как простое изменение количества в рамках заданной меры, без изменения качества. Таким образом, простые количественные изменения без качественных, это такое движение, малейшее упрощение его сразу приводит к покою. Иначе говоря, не существует никакого более простого движения данной системы.
Если поведение динамической системы задано дифференциальными уравнениями, то все независимые интегралы этих уравнений будут находиться в инволюции. То есть в классической механике скобки Пуассона от этих интегралов равны нулю, а в случае квантовой механики коммутируют между собой операторы соответствующие этим интегралам - квантовым числам. Это следствие того, что группа динамической симметрии такой системы коммутативна. Набор этих независимых инвариантов можно поменять на другой эквивалентный набор, но состояние инволюции от этого не меняется.
Например, геометрия Евклида представляет собой консервативную динамическую систему идеального мира. Эта геометрия замкнута в том смысле, что в неё, как в динамическую систему не поступает информация из вне и информация не уходит из неё. В геометрии Евклида одними из инвариантов являются логические правила и аксиомы. Можно изменить один набор аксиом на другой эквивалентный набор, но при этом выводы замкнутой теории не меняются. Чтобы выйти из состояния инволюции, надо изменить аксиомы неэквивалентным образом. Но это можно сделать только получив какую-то информацию за пределами геометрии Евклида, а не из неё самой. Или это можно сделать "забыв" (потеряв информацию) некоторые из аксиом, что эквивалентно тому, что мы вывели часть информации из системы.
Любая система может развиваться только за счет внешней среды и поэтому в случае замкнутости системы, она остается самотождественной во времени по своим инвариантным признакам. То есть её симметрия сохраняется во времени.
Выбирая те или иные начальные условия, мы выбираем ту или иную подгруппу из общей простой группы. Как известно из математики, все эти подгруппы изоморфны группе вещественных чисел относительно операции сложения или каким-нибудь её подгруппам. Раз начальными условиями задается конкретная подгруппа, то, следовательно, начальные условия однозначно задают и инварианты. Поэтому классификация консервативных систем и их начальных условий идет по количеству инвариантов и числу степеней свободы. Две консервативные системы с одинаковым числом степеней свободы и с одинаковым числом инвариантов, принимающих любые значения, являются подобными, а их группы динамической симметрии изоморфны друг другу. Чем больше консервативная система имеет динамических инвариантов, тем её движение более упорядочено. И, наоборот, чем меньше динамических инвариантов, тем более хаотическое движение совершает консервативная система.
Например, если консервативная система заданная уравнениями Ньютона, совершает ограниченное по пространству движение, имеет размерность N и уравнения движения таковы, что существует 2N независимых интеграла движения, то как бы не двигалась эта система, мы всегда можем сделать такую каноническую замену переменных, что переменными станут эти самые интегралы движения (2N обобщенных координат). Но в такой системе координат все координаты не меняются. Это же интегралы системы дифференциальных уравнений. Значит, мы попадаем в состояние покоя данной системы.
А если число независимых интегралов уравнений движения у финитной системы будет 2N-1, то мы получаем периодическое движение. Если число интегралов меньше, чем 2N-1, но больше или равно N, то мы имеем дело, в общем случае с квазипериодическим движением. Наконец, если число интегралов меньше, чем N, то мы можем попасть в область стохастического движения, где описание методами классической механики является избыточным, а сокращенное описание методами статистической физики приводит к возрастанию энтропии в такой системе.
Отметим, что у любой консервативной системы всегда существует хотя бы один динамический инвариант, который описывает замкнутость системы. Этот инвариант называется обобщенным гамильтонианом. В системах, описываемых дифференциальными уравнениями, обобщенный гамильтониан является интегралом. В физических и механических системах он выражает закон сохранения энергии. В идеальных системах он может выражать закон сохранения информации. В химических системах - закон сохранения вещества. В финансовых системах - закон сохранения денег. И т.д.