В продолжение темы о парадоксах бесконечности приведу еще примеры парадоксов бесконечности, которые уже не столько математические, сколько семантические и физические.
Семантические парадоксы бесконечности
Древним грекам был известен такой парадокс. Допустим, я говорю Вам следующую фразу: "Я сейчас лгу". Спрашивается, является ли моя фраза истиной или ложью?
Если моё высказывание истинно, то, следовательно, я врал и оно на самом деле ложное. Но если оно ложное, то значит, я сейчас не лгу, а говорю правду. И т.д. Таким образом появляется зацикливание рассуждений и мы получаем бесконечный логический цикл из которого невозможно выйти в рамках формальной логики.
У этого парадокса лжеца есть много разных вариантов, самый известный из них это парадокс Эпименида. Но самое интересное то, что идея этого парадокса привела Гёделя к доказательству самой знаменитой теоремы математики - теоремы Гёделя о неполноте формальных аксиоматических теорий.
Вот еще один вариант парадокса лжеца. Возьмем лист бумаги и на одной его стороне напишем: "На обратной стороне листа написана истина", а на другой стороне листа напишем: "На обратной стороне листа написана ложь". Нетрудно убедиться, что для того, чтобы понять правдивые это высказывания или нет, мы будем бесконечное число раз переворачивать этот лист бумаги, находясь в бесконечном цикле.
Вот такие бесконечные семантические зацикливания нужно уметь прерывать. Английский математик Дж.Литлвуд показал пример одного такого прерывания бесконечного цикла. У него вышла статья во французском математическом журнале на французском языке. Литлвуд не знал французский язык. Поэтому перевод статьи сделал профессор Рисс. И Литлвуд в конце статьи дополнительно сделал примечание: "Я весьма признателен профессору Риссу за перевод настоящей статьи." Но профессор Рисс перевел на французский и это примечание. Пришлось Литлвуду сделать дополнительно еще и второе примечание: "Я весьма признателен профессору Риссу за перевод предыдущего примечания." Разумеется, профессор Рисс перевел на французский и это примечание.
Возникла угроза бесконечного зацикливания, ибо теперь надо было писать третье примечание: "Я весьма признателен профессору Риссу за перевод предыдущего примечания", а затем в четвертом примечании снова благодарить за перевод. Литлвуд нашел решение этого тупика. Он третье примечание написал по-французски сам, не прибегая к помощи профессора Рисса. Ведь третье примечание полностью совпадает со вторым примечанием и поэтому, чтобы написать третье примечание, ему не понадобились услуги переводчика.
Статья так и вышла с тремя примечаниями.
Физические парадоксы бесконечности
Теперь поговорим о физических парадоксах бесконечности.
Спрашивается, есть ли бесконечность в реальном физическом мире или бесконечность это выдумки математиков?
Ответ на этот вопрос зависит от того, конечна или бесконечна наша Вселенная.
Конечная Вселенная
Если наша Вселенная конечна, то бесконечности в реальном мире не существует. Потому что в конечной Вселенной не может быть ничего бесконечного. В конечной Вселенной всё, что можно пересчитать или измерить, будет всегда выражаться только конечными числами. В конечной Вселенной ограниченное число фотонов и нейтрино, конечный размер и полная масса Вселенной.
Так как наша Вселенная расширяется и имеет свою начальную точку во времени, то эти конечные величины могут быть не константами, а, например, увеличиваться с течением времени. Скажем, число нейтрино во Вселенной может расти. Но при своем росте в каждый момент времени эти все числа остаются конечными и не обращаются в бесконечность.
Мало того, в конечной Вселенной существует самое большое число в мире! Это число, больше которого ничего не намерили и не насчитали. Больше этого числа никаких других чисел нет. Теоретически они конечно есть и математики их могут рассматривать, но эти числа принципиально ни для чего не нужны и поэтому их можно не рассматривать и объявить лишними числами. То есть все числа больше такого-то лишние, так как ничего большего, чем это число, в реальном мире не бывает. Понятно, из-за процесса расширения Вселенной это самое большое число постоянно пересматривается, но оно принципиально остается конечным.
Совсем не обязательно, что это самое большое число связано с каким-то большим количеством каких-то физических объектов или физических параметров Вселенной. Это может быть, например, количество вариантов сочетаний всех атомов Вселенной, то есть, сколько теоретически возможно вариантов Вселенной. Для конечной Вселенной это число вариантов Вселенной будет конечным. Или это может быть, например, количество знаков после запятой в числе Пи, которое может понадобиться на все случаи жизни. В конечной Вселенной может понадобиться только ограниченное число этих знаков. Использование следующих знаков в ограниченной Вселенной ничего не даст.
Бесконечная Вселенная
Теперь рассмотрим случай бесконечной Вселенной.
В этом случае бесконечность существует реально на физическом уровне. Как минимум, размер такой Вселенной равен бесконечности. У такой Вселенной бесконечный объем. А, возможно, и бесконечная масса, бесконечное число фотонов, нейтрино и атомов, бесконечное число звезд и галактик.
Что из себя может представлять бесконечная Вселенная?
Как ни странно, но математика говорит нам, что есть только два варианта строения бесконечной Вселенной. Или бесконечная Вселенная бесконечно разнообразна или она периодически повторяется. Это утверждение взялось из рассмотрения вещественных чисел. Вещественные числа бывают рациональными и иррациональными. В рациональных числах идет периодическое повторение цифр после запятой. В иррациональных числах такого повторения нет. В иррациональных числах в общем случае идет хаотичная последовательность цифр.
Бесконечно разнообразная Вселенная
Хаотичность последовательности цифр в иррациональном числе означает, что функция автокорреляции этой последовательности обращается в ноль и, значит, не существует никаких повторяющихся периодов. В последовательностях цифр в иррациональных числах можно найти любую наперед заданную последовательность цифр. Например, в числе Пи можно найти номер своего паспорта, номер своего мобильного телефона, дату своего рождения и т.д.
Можете поискать любые цифровые комбинации в числе Пи с помощью сервиса Pi-Search Results. Этот сервис выдает Вам номер цифры после запятой в числе Пи, с которой начинается искомая комбинация цифр, среди первых 200'000'000 цифр после запятой. А также выдает 20 предыдущих цифр перед искомой комбинацией и 20 последующих цифр, которые в числе Пи идут после искомой комбинации.
На первый взгляд, кажется, что если непериодическая бесконечность такая разнообразная, то значит, в бесконечной Вселенной есть такое место, где летает глыба золота или даже целая планета из чистого золота. То есть в бесконечной непериодической Вселенной где-то очень-очень далеко от Солнечной системы может встретиться всё то, что не противоречит физике. Существование глыбы золота, размером с планету, не противоречит законам физики, значит, где-то она существует. Расстояние до такой глыбы может быть очень большим, но оно конечное. Точно также, как и в последовательности цифр числа Пи расстояние от запятой до любой нужной последовательности является конечным.
Чем более невероятный объект мы хотим найти в такой непериодической бесконечной Вселенной, тем будет дальше расстояние до него. Кусок золота размером с кулак, наверное, можно найти даже на Земле, золотую глыбу размера с астероид, возможно, можно найти в нашей Галактике, а золотой планеты, возможно, нет даже в ближайших галактиках. А ящик с бутылками пива, случайно создавшийся на какой-то далекой планете в результате флуктуаций атомов, может находиться так далеко, что страшно даже подумать.
В общем, чем больше энтропия и упорядоченность искомого объекта, тем реже он встречается в такой Вселенной. Вы можете проверить это утверждение с помощью сервиса поиска последовательности в числе Пи. Например, будем искать в числе Пи какие-нибудь всё более и более неслучайные последовательности. Ну, скажем, числа, 7, 77, 777, и т.д. Вот что выдает сервис поиска
- 7 - 13-я позиция
- 77 - 559-я позиция
- 777 - 1'589-я позиция
- 7777 - 1'589-я позиция
- 77777 - 162'248-я позиция
- 777777 - 399'579-я позиция
- 7777777 - 3'346'228-я позиция
- 77777777 - 24'658'601-я позиция
- 777777777 - 24'658'601-я позиция
В целом выполняется правило, что чем менее случайную последовательность мы хотим найти в иррациональном числе, тем реже она встречается. То, что в приведенном выше исследовании последовательностей, состоящих из цифр 7, оказалось, что 7777 встречается в числе Пи раньше, чем отдельная последовательность из 777 еще не говорит о том, что отдельная группа цифр 7777 встречается чаще, чем отдельная группа цифр 777. Реально, 777 в знаках числа Пи встречается чаще, чем 7777.
Нужно понимать, что в такой Вселенной могут встретиться только такие объекты, которые не противоречат физике. Если магия и колдовство противоречат физике, то значит, в такой Вселенной Вы не встретите планету или какое-нибудь еще причудливое место, населенную магами и колдунами из книжек в жанре фэнтази. То есть, всё разнообразие ограничено рамками законов физики. Существование ящика с бутылками пива не противоречит законам физики, и поэтому нет никаких запретов того, что можно найти планету, заполненную ящиками с пивом. Это соответствует тому, что в последовательности цифр числа Пи могут встречаться только цифры, но никак не буквы и не знаки препинания.
Но не всё так просто, как кажется на первый взгляд. Это число Пи имеет такое разнообразие цифр. Но ведь могут существовать и иррациональные числа, например, с неполным набором цифр. Например, представьте себе иррациональное число, типа 0.10011001010111100110... Это не двоичное, а десятичное число, но в его десятичной записи встречаются только нули и единицы. Такие числа реально существуют и имеют свое место на вещественной оси. В последовательности цифр такого числа Вы никогда не встретите ни 7, ни 77, ни 777 и т.д.
Поэтому совсем не факт, что в бесконечной разнообразной Вселенной можно найти где-то далеко планету, наполненную пивом, и даже планету из чистого золота. Мне могут возразить, что в приведенном примере с числом из единиц и нулей изначально нет семерок, а в нашей Вселенной ящики с пивом уже есть, например, на Земле. Но это возражение легко обойти, если для примера взять, например, число 0.710011001010111100110... В этом числе семерка встречается один единственный раз и это реально существующее число. Поэтому тот факт, что на Земле встречается ящик с пивом, не является логическим обоснованием того, что в бесконечной разнообразной Вселенной где-то должны еще встречаться ящики с пивом.
Периодическая бесконечная Вселенная
Теперь посмотрим на периодическую бесконечную Вселенную. Слово периодическая совсем не означает, что где-то Вселенная начинает повторять саму себя и делает эти повторения бесконечное число раз. То есть совсем не значит, что есть бесконечно много копий планеты Земля, где мы с Вами копированы бесконечное число раз.
Давайте вспомним, что в периоде рациональных чисел не обязаны присутствовать все цифры. Вот, например, число 11/3 = 3.6666666..., где в периоде только одни шестерки. Кроме того, конечный набор начальных цифр рационального числа не обязан периодически повторяться. В приведенном примере первая цифра 3 встречается только один раз.
Поэтому бесконечная периодическая Вселенная вполне может представлять собой конечный объем, содержащий галактики, который со всех сторон окружен пустотой, простирающийся до бесконечности.