Парадоксы бесконечности

бесконечность является самым удивительным и загадочным явлением. Вот только некоторые парадоксы и софизмы, связанные с понятием бесконечность.

Уже древние греки задумались над понятием бесконечность и пришли к выводу, что это понятие весьма парадоксальное

Самый знаменитый древнегреческий парадокс, известен под названием "Ахилл и черепаха". Пусть в точке A находится Ахилл, а в точке B находится черепаха. Одновременно Ахилл начинает бежать из A к B, стремясь догнать черепаху, а черепаха убегает от Ахилла из B в направлении противоположном направлению к A со скоростью, например, в сто раз меньшей скорости Ахилла.

Конечно же, мы понимаем, что Ахилл очень быстро догонит черепаху. Но можно так рассуждать логически непротиворечиво, что Ахилл не только никогда не догонит черепаху, но и даже не добежит до точки B. (Иногда этот парадокс дают в упрощенной форме, где нет черепахи, а Ахиллу надо только дойти до точки B.)

Ахилл и черепаха

Когда Ахилл добежит до середины отрезка [A,B] (точка С1), черепаха немного отбежит от точки В. Далее, когда Ахилл достигнет до середины отрезка [C1,B] в точку C2, черепаха еще удалится от точки В и т.д. Всё время черепаха будет удаляться от В. Чтобы достигнуть точки B, Ахиллу надо пройти бесконечную последовательность точек C1, C2, C3, ... , Cn. Но за конечное время невозможно пройти бесконечное число изолированных точек. Отсюда делается парадоксальный вывод, что Ахилл не только никогда не догонит черепаху, но и даже не достигнет точки B.

Можно не рассматривать точку B в качестве цели Ахилла, а рассматривать только расстояния между черепахой и Ахиллом и, рассуждая подобным образом, также доказать, что Ахилл никогда не догонит черепаху. Эти рассуждения полностью эквивалентны, если мы перейдем в систему отсчета связанную с черепахой.

Данный парадокс преодолевается тем, что считается, что точка B это предел последовательности точек C1, C2, C3, ... Поэтому время достижения точки B конечное, так как конечна сумма времен T1 + T2 + T3 + ..., где Ti это время достижения точки Ci из предыдущей точки.

Следующие парадоксы бесконечности приписывают Гильберту.

Рассмотрим гостиницу с бесконечным числом номеров. Допустим, что все номера такой гостиницы заняты бесконечным числом постояльцев. Несмотря на это, если Вы приедете в такую гостиницу, то Вас без проблем могут в ней поселить. Делается это так. Вас заселяют в номер 1. А того, кто жил в номере 1 переселяют в номер 2. Того, кто жил в номере 2 переселяют в номер 3. И т.д. Можно показать, что эта процедура логически непротиворечива, что она выполняется на любом этапе.

Точно также в гостиницу с бесконечным числом занятых номеров можно вселить не только Вас одного, но и любое количество Ваших друзей, которые приехали туда вместе с Вами. Причем, число Ваших друзей может быть не только конечным, но и бесконечным.

Бесконечное число Ваших друзей заселяется так. Постояльца из номера 1 переселяют в номер 2. А постояльца из номера 2 переселяют в номер 4. Далее постояльца из номера 3 переселяют в номер 6. А постояльца из номера 4 (куда должен переехать постоялец из номера 2) переселяют в номер 8. И так далее, освобождая все нечетные номера для Вас и Ваших друзей, а всех, кто заселился раньше Вас и Ваших друзей, собирая в четных номерах. Так как множество четных чисел является счетным, то есть имеется процедура их пересчитать (поставить в соответствие каждому четному числу натуральное число), то процедура такого переселения, с освобождением всех нечетных номеров гостиницы, является логически непротиворечивой.

Затем, в эту гостиницу могу приехать еще и я со своим бесконечным числом друзей. И снова, по описанной выше процедуре, мне и моим друзьям хватит места в этой гостинице. Таким образом, если в гостинице имеется бесконечное число номеров, которые все заняты бесконечным числом постояльцев, то в такую гостиницу можно поселить еще бесконечное число раз гостей, причем каждый раз число гостей может быть бесконечным.

То же самое и с выездом из такой гостиницы. Если в гостинице бесконечное число номеров и все они заняты бесконечным числом гостей, то из такой гостиницы может выехать бесконечное число гостей и при этом в гостинице всё равно останется бесконечное число гостей. Например, уезжают все люди только из четных номеров. Понятно, что в нечетных номерах отеля остается бесконечное число гостей. Этих остающихся гостей можно опять расселить по обратной процедуре к описанной выше, так, что после отъезда бесконечного числа гостей, все номера отеля опять окажутся занятыми и не будет ни одного пустующего номера.

Таким образом, из отеля с бесконечным числом номеров, которые все заняты бесконечным числом гостей, можно выселять бесконечное число раз гостей, каждый раз в бесконечном количестве этих выселяемых гостей. И тем не менее, каждый раз в отеле будет оставаться не только бесконечное число гостей, но и не будет оставаться незанятых номеров.

В заключение, еще один пример парадокса бесконечности, который продолжает тему в конце статьи "Пример Шредингера с бесконечным числом карт"

Рассмотрим следующую бесконечную сумму:
5 - 5 + 5 - 5 + 5 - 5 + ...

Результат зависит от того, как мы расставим скобки. Например,
(5 - 5) + (5 - 5) + (5 - 5) + ... = 0,
5 - (5 - 5) - (5 - 5) - (5 - 5) - ... = 5.

А можно сгруппировать еще и так 5 - (5 - 5 + 5 - 5 + 5 - 5 + ...).

В этом случае от числа 5 отнимается точно такой же ряд, который у нас был первоначально. Поэтому от 5 отнимается или 0 или 5, в зависимости от того, как расставим скобки в отнимаемом ряду.

Но с другой стороны, если сумму рада обозначить как S, то из последнего выражения мы имеем уравнение
5 - S = S,
то есть S = 2.5.

Можно показать, что сумма этого ряда может принимать любое значение в пределах от 0 до 5. Это связано с тем, что данный бесконечный ряд не сходится и его сумма колеблется между 0 и 5.

Этот парадокс связан с очень интересным парадоксом лампы.

Допустим, лампа полминуты включена, затем четверть минуты выключена, потом включена на 1/8 минуты, выключена на 1/16 минуты и т.д. Обратите внимание, что сумма ряда
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1.

То есть, за минуту весь процесс у нас закончится. Но что будет в самом конце? Физически лампа может только или быть включенной или быть выключенной. Парадокс заключается в том, что если лампа будет через минуту включенной или выключенной, то это значит, что выключатель сработал последний раз, в то время, как он должен работать бесконечное число раз. Значит, что если лампа через минуту окажется или включенной или выключенной, то существует последнее самое большое натуральное число. И в зависимости от состояния лампы, мы даже можем сказать, какое это число, четное или нечетное.

Парадокс лампы разрешается тем фактом, что физический процесс переключения лампы не происходит мгновенно из-за конечности скорости распространения электромагнитных волн в проводах. Поэтому, начиная с какого-то момента, лампа останется в своем состоянии на весь отрезок времени, оставшейся до окончания минуты.