Исторически первыми числами, с которыми познакомился человек, были натуральные числа: 1, 2, 3, и т.д. С помощью таких чисел можно было посчитать какое-нибудь количество целых предметов.
однако, натуральные числа имели очень большой недостаток, связанный с тем, что они не представляют замкнутую систему относительно такой математической операции, как вычитание. В самом деле, если Вы имеете только натуральные числа, то Вы не можете сказать чему равно, например, 1-2=?. Даже такая простая операция, как вычитание, уже приводит к тому, что нам становится не хватать чисел.
Это привело к появлению понятия целых чисел. Целые числа возникают не просто добавлением отрицательных чисел к натуральным. Самым существенным моментом для возникновения понятия целого числа, является изобретение числа "ноль". Это число "0" изобрели индийские математики. Данное открытие числа нуль явилось настоящей революцией в математике. Ибо математики впервые придумали название и обозначение чему-то такому, чего на самом деле нет, чего не существует.
Оказалось, что если обозначить то, чего нет и рассматривать его формально, так, будто бы оно на самом деле есть, то это здорово упрощает математические расчеты. До введения понятия числа ноль и отрицательных чисел, математикам приходилось сильно извращаться при решении уравнений, чтобы избегать появления отрицательных чисел. Самая известная работа в Средние Века, посвященная этой проблеме, как при решении уравнений избегать отрицательных чисел, была написана узбекским математиком Аль-Хорезми (буквально переводится, как "из города Хорезм").
От его имени происходит термин "алгоритм". Сама работа называлась "Аль-Джебр" (переводится, как "Восстановление", то есть типа "методы восстановления положительных величин"). От названия этой работы происходит название науки "алгебра".
Но целые числа оказались также не полным замкнутым набором чисел. В рамках одних только целых чисел невозможно выполнить все возможные операции деления. Например, при делении 1:2=?, мы не получаем целого числа.
Так возникает понятие дробных чисел. Дробные числа вместе с целыми числами образуют понятие рациональных чисел. В общем случае, определение рационального числа через целые число звучит так. Рациональное число всегда можно представить в виде m/n, где m и n это целые числа.
Исторически дробные числа были открыты раньше отрицательных чисел, хотя, по своей логике, дробные числа должны были появиться позже отрицательных.
Следующее расширение понятия числа возникло в связи с открытием иррациональных чисел. Иррациональные числа вместе с рациональными числами образуют, так называемые, вещественные числа или, по другому, реальные числа.
Открытие иррациональных чисел приписывают Пифагору. Утверждается, что Пифагор открыл иррациональные числа случайно при изучении своей знаменитой теоремы о том, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Пифагор рассмотрел равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными единице. В таком треугольнике длина гипотенузы равна корню квадратному из двойки.
Пифагору удалось доказать, что длина гипотенузы в таком треугольнике никак не может быть выражена никаким отношением целых чисел m/n. То есть, не существует два таких целых числа m и n, с помощью которых можно выразить длину гипотенузы, если длины катетов равны единице.
Это открытие на столько поразило Пифагора, что он долгое время держал его в тайне. Это открытие иррациональных чисел Пифагор сообщил только своим ученикам, взяв с каждого из них клятву на числе 36, что они никому не расскажут про это открытие. Число 36 считалось у пифагорейцев священным и магическим. 36=(1+3+5+7)+(2+4+6+8).
Легенда утверждает, что один из его учеников нарушил эту клятву и обнародовал открытие иррациональных чисел. Разумеется, древнегреческие боги не прощают нарушения клятвы на священном числе 36. Поэтому этот ученик Пифагора утонул на корабле во время шторма.
Само доказательство иррациональности квадратного корня из двух очень простое и не выходит за рамки школьного курса математики.
Допустим, от противного, что квадратный корень из 2 можно представить в виде уже несократимой дроби m/n, где m и n это целые числа. Тогда получается, что m2=2n2, то есть m2 всегда четное число, а значит и число m тоже всегда четное. Любое четное число можно представить, как m=2k, где k - целое число. Но тогда (2k)2=2n2, то есть 2k2=n2. Значит, получается, что и квадрат числа n тоже четное число и выходит, что и само число n тоже четное. Итак, получаем, что и m и n это четные числа, что противоречит начальному условию о том, что m/n это уже несократимая дробь, то есть одновременно m и n не могут быть четными.
А если мы сократим числа m и n на 2 и будем рассматривать новые числитель и знаменатель, то, рассуждая точно также, мы получим, что эти новые числитель и знаменатель тоже четные и их тоже можно поделить на 2. И т.д. Получается, что числа m и n можно бесконечное число раз разделить на 2. Но по нашим условиям числа m и n не являются бесконечно большими числами, это должны быть конечные целые числа.
Самыми знаменитыми иррациональными числами в математике являются число π - отношение длины окружности к её диаметру и число e - основание натуральных логарифмов.
Между рациональными и иррациональными числами есть два принципиальных различия.
Первое различие. Если записать эти числа в виде десятичной дроби, то в рациональном числе Вы, в конце концов, увидите какую-нибудь периодически повторяющуюся последовательность цифр. Например:
- 5=5.00000000000...
- 6.88=6.8800000000...
- 10/3=3.3333333333...
- 456.648532796444444444...
- 0.6533335219874398743987439874398743...
В иррациональном числе Вы не увидите никакой повторяющейся периодической последовательности цифр. Появление той или иной цифры в записи иррационального числа описывается вероятностными законами. Например, Ваш номер телефона или дату Вашего рождения можно встретить среди последовательности цифр иррационального числа, причем и номер Вашего телефона и дата Вашего рождения будут встречаться в записи числа неоднократно и существует некоторая вероятность выпадения, скажем, номера Вашего телефона на каждый миллион знаков.
В разных числах эта вероятность может быть разная. Чтобы это было понятнее, рассмотрим двоичную систему исчисления. В ней только две цифры "0" и "1". То есть любое иррациональное число записывается как случайная последовательность нулей и единиц. Однако, это совсем не означает, что нули и единицы в такой последовательности выпадают равновероятно, как, например, при подкидывании монетки. Понятно, что имеет полное право на существование и такое иррациональное число, у которого вероятность выпадения нуля, допустим, в пять раз меньше, чем вероятность обнаружить единицу в последовательности цифр в записи числа. Таким образом, спектр выпадения цифр в записи иррационального числа, в общем случае, не представляет собой классический белый шум. Но как частный случай, белый шум, конечно же, возможен.
Лично для меня всегда было загадкой, является ли спектр появления тех или иных цифр в записи иррационального числа стационарным спектром или же частота появления той или иной цифры меняется в зависимости от того, какую часть записи числа мы рассматриваем, скажем, первую тысячу цифр или сотую тысячу цифр. Точнее говоря, я почти уверен, что ничто не запрещает существованию "нестационарных" иррациональных чисел. Но вот чем отличаются свойства "стационарных" и "нестационарных" иррациональных чисел?
Второе различие. Все рациональные числа являются счетными. Другими словами, можно придумать алгоритм, как пересчитать все рациональные числа. Или, по другому, как упорядочить все рациональные числа так, чтобы каждому рациональному числу поставить в соответствие какое-нибудь единственное натуральное число. Это необычайно интересное свойство рациональных чисел, которое фактически говорит нам, что рациональных чисел столько же, сколько и натуральных чисел.
Это парадоксальное утверждение. Ведь сначала, кажется, что рациональных чисел должно быть не просто гораздо больше, чем натуральных чисел, а в бесконечное число раз больше, чем натуральных чисел.
А вот вещественных чисел действительно больше, чем натуральных чисел в бесконечное число раз. Невозможно придумать способ сосчитать все вещественные числа с помощью натуральных чисел. Другими словами, если все рациональные числа взаимно однозначно отображаются на натуральные числа, то такое отображение всех вещественных чисел уже невозможно. На каждое натуральное число можно отобразить только бесконечно большое число вещественных чисел.
Увы, но и вещественные числа оказались также неполным замкнутым набором чисел. Оказалось, что в рамках вещественных чисел остается неопределенной операция извлечения квадратного корня из отрицательных чисел. Следующим расширением понятия числа является понятие комплексных чисел. Оказалось, что именно комплексные числа и являются самыми настоящими числами.