Пример Шредингера
с бесконечным числом карт

Сначала рассмотрим очень простой пример игры с бесконечным числом карт.

Имеется бесконечное число карт. Берем первую карту и пишем на ее одной стороне число 1, а на другой стороне число 2. Затем берем вторую карту и на ее одной стороне пишем 2, а на другой пишем 3. Затем на третьей карте также пишем числа 3 и 4. И так далее.

Играют в игру два человека, которые стоят друг напротив друга. Из колоды вынимают какую-нибудь случайную карту и показывают им так, что один игрок видит только одну сторону карты, а другой только другую. Каждый играющий имеет право или спасовать, то есть выйти из игры, или согласиться сыграть в игру. Если оба соглашаются играть, то выигрывает тот из них, который видит большее число. Нам нужно понять, какова выигрышная стратегия в такой игре.

Оказывается, что в этой игре каждый раз один из игроков должен обязательно пасовать. Причем доказательство этого факта аналогично решению задачи о дамах с испачканными лицами.

В самом деле, если игрок N1 видит на карте число 1, то это означает, что его противник N2 видит на карте число 2, то есть выиграет N2. Значит игроку N1 надо обязательно пасовать. А если игрок N1 видит на карте число 2, то значит, что игрок N2 видит или число 1 или число 3. Но если N2 видит 1, то N2 должен пасовать. А если N2 не пасует, значит он видит не 1, а видит число 3. Поэтому, если N2 не пасует, то игроку N1 надо пасовать. Далее, если игрок N1 видит на карте 3, то значит игрок N2 видит или 2 или 4. В случае, если он видит 2, то будет пасовать, как только что было доказано. А если N2 всё таки не пасует, значит он видит не 2, а 4. Поэтому пасовать должен N1. И так далее по индукции.

Получается, что в этой игре, если Вы видите, что Ваш противник не пасует, значит надо обязательно пасовать Вам. А поскольку Ваш противник тоже не дурак и знает беспроигрышную стратегию этой игры, то вы оба будете пасовать.

Эту игру удивительным образом обобщил Шредингер.

У Шредингера имеется также бесконечное число таких карт. Но теперь для каждой карты типа (n, n+1) имеется не одна карта, а 10n карт такого типа. То есть имеется десять карт (1,2), сто карт (2,3), тысяча карт (3,4) и так далее. А выигрывает теперь тот, кто видит меньшее число.

Оказывается, что при таких условиях выигрышная стратегия заключается в том, что игрок N1 должен всегда играть, какое бы число он не видел на показываемой ему стороне карты. То же самое, разумеется, справедливо и для игрока N2.

Но самое забавное заключается в том, что вероятность выигрыша каждого из игроков всегда составляет 0.9. Этот странный вывод вытекает из того, что, какое бы число не видел на карте игрок N1, всё равно в 10 раз более вероятнее, что на другой стороне карты написано большее число, а не меньшее.

И вообще, из-за того, что карт бесконечное число, мы получаем, что какое бы число Вы не назвали заранее, более вероятнее, что из колоды карт вытащат карту с большим числом. Мало того, это событие бесконечно более вероятно.

Тут мы имеем дело с парадоксом бесконечности. Вот еще один простой пример, который наглядно демонстрирует нам этот парадокс бесконечности.

Рассмотрим бесконечный ряд:

P1+P2+...+P10 -P1 +P11+P12+...+P20 -P2 +P21+P22+...+P30 -P3 +...

Сумма этого ряда равна нулю, потому что какое бы число Pn мы не прибавили, оно всё равно будет потом вычтено.

Пусть, для примера, у нас есть шары, пронумерованные числами 1, 2, 3, ... Мы за одну минуту до полуночи кладем в ящик 10 шаров с номерами от 1 до 10, и тут же вынимаем шар номер 1. За полминуты до полуночи мы кладем в ящик шары с номерами от 11 до 20 и вынимаем шар номер 2. За одну треть минуты до полуночи мы кладем в ящик еще следующие шары с номерами от 21 до 30 и вынимаем шар номер 3. И так далее. Спрашивается, сколько шаров останется в ящике ровно в полночь?

Ответ: Ни одного!

Какой бы номер шара Вы не назвали, например, 327, шарик с этим номером отсутствует в ящике, так как его вытащили при 327-й операции, которая произошла за 1/327 долю минуты до полуночи.