Задача об испачканных дамах

Это давно забытая старая задача-шутка, которая лет сто назад покорила всю Европу и была опубликована со всякими вариациями во многих математических изданиях мира. Здесь приведена одна из самых первых оригинальных формулировок этой красивой задачи.

Итак, три дамы N1, N2 и N3 заходят в купе поезда с испачканными в саже лицами. Причем ни одна дама не догадывается, что её лицо тоже испачкано. Каждая видит, что у двух других дам грязные лица. Это приводит каждую даму в веселое настроение. И вот все три дамы сидят напротив друг друга и смеются друг над другом. И вдруг одна из этих дам прекращает смеяться, потому что она поняла, что у неё тоже грязное лицо и над ней тоже смеются.

Вопрос: как она догадалась?

Попробуйте решить эту задачу, не читая дальше решение. Ну, хотя бы минут пять...

Если Вы никогда не сталкивались с подобными задачами, то решить эту задачу будет не так-то легко. Здесь минимум материала и совершенно непонятно, как подступиться к решению и с чего начать.

Решение следующее. С точки зрения дамы N3, ситуация должна быть такой. "У меня чистое лицо и лично я смеюсь над двумя грязнулями N1 и N2, а две грязнули N1 и N2 смеются друг над другом. Но тогда почему грязнуля N2 смеётся и не понимает, что N1 смеётся над ней. Ведь N2 думает, что у неё чистое лицо, а значит N2 должна думать, что в купе только одна замарашка N1, которая видит двух приличных дам. Значит N2 должна озадачится вопросом: над кем смеется N1? И тут же понять, что больше не над кем смеяться, кроме как над ней. А она, как ни в чем не бывало, продолжает спокойно смеяться. Это означает только одно, что она видит тот объект, над которым смеется N1. И этот объект это Я!!!"

Да, вот так вот. Внезапная мысль, возникающая у N3, порождается эмоциональным стимулом.

А вот теперь, что самое поразительное в этой задаче.

Эту задачу можно обобщить на любое количество дам N>3. Если Вы зададите эту задачу кому-нибудь, где число дам будет, скажем, 100 или хотя бы 10, Вы поставите собеседника в полный тупик. Наверняка, мало кто сообразит, как решать такую трудную задачу.

На самом деле, решение очень простое и заключается оно в применении метода математической индукции.

Вы заметили, что, когда дама N3 предполагает, что у неё чистое лицо, она сводит задачу трех испачканных дам к задаче двух испачканных дам и затем начинает рассуждать с точки зрения одной из этих дам, предполагая, что та тоже считает себя чистой и тем самым сводит задачу двух дам к задаче одной дамы. А уже в задаче одной дамы мы и получаем противоречие, указывающее на неверное предположение о чистоте лица дамы N2, а тогда и дамы N3.

Давайте посмотрим, как это делается на примере четырех испачкавшихся дамах.

Дама N4 рассуждает примерно так. "У меня чистое лицо и лично я смеюсь над тремя грязнулями N1, N2 и N3, а три грязнули N1, N2 и N3 смеются друг над другом..." Стоп! Мы уже свели задачу четырех испачканных дам к предыдущей задаче трех испачканных дам. Поэтому далее дама N4 просто повторяет все наши рассуждения, которые мы сделали ранее за даму N3. Тот раз мы рассуждали за даму N3, а теперь за неё рассуждает дама N4. (Если хотите, то тот раз мы и были этой самой дамой N4).

Понятно, что если у нас теперь допустим 100 дам, то дама N100, думая, что у неё чистое лицо, сводит задачу к задаче 99 грязных дам. И далее она рассуждает с точки зрения дамы N99 так, чтобы та свела задачу к задаче 98 дам и рассуждала с точки зрения дамы N98, чтобы та своими рассуждениями свела задачу к 97 дамам. И так далее. После сведения задачи к одной даме, полученное противоречие разворачивается в обратную сторону и даме N100 открывается весь её позор.

С точки зрения формальной логики это удивительное решение абсолютно корректно!

А теперь сравним эту задачу с хорошо знакомой задачей о поджаривании трех котлет. Напоминаю. Есть три котлеты, но на сковородку вмещаются одновременно только две котлеты. Одна сторона котлеты поджаривается 10 минут. Надо все три котлеты поджарить с двух сторон за минимальное время.

Напоминаю решение. Сначала на 10 минут на сковородке поджариваем с одной стороны котлеты N1 и N2. Затем убираем со сковороды котлету N2 и кладем туда котлету N3. Следующие 10 минут на сковороде поджариваем вторую сторону котлеты N1 и первую сторону котлеты N3. Наконец, убираем со сковороды полностью зажарившуюся котлету N1 и следующие 10 минут жарим вторые стороны котлет N2 и N3. Итак, на приготовление этих трех котлет мы затратили всего 30 минут.

Спрашивается, а как эту задачу теперь обобщить на случай любого числа котлет N? сделать это надо по аналогии с предыдущей задачей о N испачканных дам.

Задача о котлетах также имеет очень много модификаций.

Одна из этих модификаций такая. В больнице надо срочно провести одну операцию заразному больному, которую по очереди должны провести три хирурга. Но ужас! В больнице осталось только две пары перчаток. А оперировать без перчаток нельзя и пользоваться перчатками предыдущего хирурга тоже нельзя, так как есть вероятность, что во время операции предыдущий хирург может заразиться.

Решение заключается в том, что первый хирург надевает себе сразу обе пары перчаток. Потом второй хирург надевает себе верхнюю пару перчаток, а третий хирург выворачивает наизнанку внутреннюю пару перчаток и таким образом надевает на свои руки поверхность, которая тоже не соприкасалась ни с больным, ни с первым хирургом.

Более извращенный вариант этой задачи такой. В маленьком скучном провинциальном городке, трое командировочных из разных городов заказали себе в номер гостиницы проститутку. Во всем городке нашлась только одна проститутка, а у всей компании нашлось только два презерватива. Понятно, что никто не рискует оприходовать девицу без резины, и никто не хочет надевать на себя использованный презерватив. Задача решается точно также, как и в случае с хирургами. Первый командировочный надевает сразу два "изделия number two". Второй командировочный пользуется внешним изделием, а третий выворачивает наизнанку внутренне изделие. Тем самым, все трое возвращаются из командировки к своим женам не зараженными.

И этот вариант задачи Вы теперь без труда сможете обобщить на случай роты солдат и одной обслуживающей девицы.