Простая задача о взвешивании монет


Задача

Хорошо известна задача о взвешивании монет на простых рычажных весах, с целью найти одну фальшивую монету за минимальное число взвешиваний.

Например, у Вас имеется 100 одинаковых по виду монет. Все они одинакового веса, кроме одной фальшивой монеты, которая легче остальных монет. Спрашивается, за какое минимальное число взвешиваний на рычажных весах можно найти фальшивую монету.


Алгоритм

Алгоритм решения этой задачи довольно простой. Берем ближайшее большее число к 100, которое делится на 3. Это число 102. Делим 102 на 3, получаем 34. На обе чаши весов кладем по 34 монеты, а 32 монеты оставляем лежать на столе.

Если чаши весов уравновешены, значит, на нах находятся только настоящие монеты, а фальшивая монета среди 32 монеты, которые остались на столе. В этом случае работаем только с этими 32 монетами. А если какая-то из чаш весов с 34 монетами оказалась легче другой чаши, то работаем далее с теми 34 монетами, где находится более легкая монета.

И далее повторяем весь алгоритм заново. То есть, если число монет не делится на 3, то находим ближайшее целое число, которое превышает число монет и которое делится без остатка на три. Делим это число на 3, чтобы получить, сколько монет нужно положить на обе чаши весов. А оставшиеся монеты оставляем лежать на столе. Это число монет всегда меньше или равно числу монет на одной из чаш весов. Проводим взвешивание, чтобы определить, с какой из этих трех групп монет работать дальше.

Допустим, у нас обе чаши весов с 34 монетами уравновешены. Значит, работаем с оставшимися на столе 32 монетами. Ближайшее большее число, которое делится на 3, будет 33. Делим 33 на 3 и получаем, что на обе чаши весов надо положить по 11 монет, а 10 монет оставить на столе.

А если легче оказалась чаша весов с 34 монетами, то ближайшее большее целое, которое делится на 3, будет 36. Поэтому берем из этой легкой кучи из 34 монет по 12 монет на каждую чашу весов, а 10 монет оставляем лежать на столе.


Разное число минимальных взвешиваний

Перебирая таким алгоритмом все возможные варианты, мы получаем, что надо сделать или 4 или 5 взвешиваний. Какое именно число взвешиваний надо будет сделать, 4 или 5, это уж как повезет.

Например, как получается 4 взвешивания. Если после второго взвешивания нам придется работать с 10 монетами, которые при втором взвешивании оставались на столе, то в третьем взвешивании кладем на обе чаши весов по 4 монеты. Две монеты оставляем на столе. Если в третьем взвешивании чаши весов уравновешены, то остается сделать только одно четвертое взвешивание, поместив на каждую чашу весов по одной монете из двух оставшихся на столе монет.

А если на третьем взвешивании нам не повезет, и, допустим, дальше надо будет работать не с 2 монетами, а с 4 монетами, то 4 взвешиваний уже не хватит. На 4-м взвешивании мы кладем на обе чаши весов по 2 монеты, а на столе ничего не остается. И затем делаем 5-е взвешивание с чашами весов по одной монете.

Можете сами проверить другие разветвления после второго взвешивания, когда придется работать не с 10 монетами, а с 11 или с 12 монетами, что данный алгоритм дает максимум 5 взвешиваний, но если повезёт, то и 4 взвешивания.


Одно число минимальных взвешиваний

А бывает ли так, чтобы число взвешиваний по данному алгоритму было бы строго определенным числом и не зависело бы от везения?

Да, такое бывает, когда каждый раз на столе остается столько же монет, сколько и на каждой чаши весов. Это бывает тогда, когда на каждом взвешивании число монет всё время делится на 3 без остатка. То есть, начальное число монет должно быть равным степени числа 3. Это числа

3, 9, 27, 81, 243, ...

Степень тройки показывает, сколько взвешиваний нужно сделать.

Например, число 27, это 3 в 3-й степени (33=27). Значит, найти фальшивую монету среди 27 монет можно за 3 взвешивания. На первом взвешивании кладем на обе чаши весов по 9 монет и еще 9 монет оставляем на столе. На втором взвешивании 9 монет делим на три кучки по 3 монеты, и кладем на обе чаши весов по 3 монеты и еще 3 монеты оставляем на столе. И, наконец, на последнем третьем взвешивании по одной монете кладем на обе чаши весов и одну монету оставляем на столе.

Нетрудно проверить, что для 27 монет взвешиваний всегда будет 3, где бы случайно не оказалась фальшивая монета на каждом взвешивании, на одной из чаш весов или на столе.


Общее правило

Общее правило определения числа минимальных взвешиваний следующее. Если дано N монет, среди которых одна монета отличается по весу, и это число N не является степенью числа 3, то надо найти ближайшие к N два числа, которые являются степенями числа 3. Показатели степеней числа 3 для этих двух чисел и будут равны числу минимальных взвешиваний. Если N точно является степенью числа 3, то показатель степени числа 3, будет одним минимальным числом взвешиваний.

В нашем примере N=100. Данное число не является степенью числа 3. Значит, ищем ближайшие к 100 степени числа 3. Это числа 81 и 243. При этом 34=81 и 35=243. Значит, числа 4 и 5 являются минимальным числом взвешиваний для поиска фальшивой монеты среди 100 монет.

Если число монет 59'049, то это число является точной степенью числа 3, а именно: 310=59049. Значит, для поиска фальшивой монеты среди 59'049 монет нужно будет сделать точно 10 взвешиваний.

Понятно, что это правило и этот же алгоритм будут работать, если фальшивая монета не легче настоящей, а тяжелее её. Но в общем случае нужно обязательно заранее знать, какая из монет тяжелее, настоящая или фальшивая, чтобы правильно определять, с какой группой монет работать на следующем взвешивании.


Сложная задача о взвешивании монет

Это была очень простая задача о взвешивании монет. А как Вам теперь такая задача.

Имеется N мешков с монетами. Все монеты на вид не отличаются друг от друга. В каждом мешке находятся монеты только одного какого-нибудь вида, или настоящие монеты или какой-нибудь один сорт фальшивых монет. Известно, сколько весит каждый сорт монет, то есть известен вес настоящей монеты и веса всех сортов фальшивых монет. Неизвестно в каких именно мешках находятся настоящие монеты, а в каких мешках находятся фальшивые монеты.

Вопрос: Как ОДНИМ взвешиванием определить, в каких мешках находятся настоящие монеты, а в каких мешках находятся какие сорта фальшивых монет? Весы обычные, которые показывают вес, например, в граммах.

Считается, что в мешках достаточное количество монет, чтобы брать оттуда любое количество монет.

Обратите внимание, что фальшивые монеты не обязательно должны быть легче, чем настоящие. Например, может быть, что всего 7 сортов монет со следующими весами в граммах: 4, 5, 8, 9, 10, 13 и 16. Настоящая монета имеет вес 10 грамм, а все остальные фальшивые. Кроме того, у нас не обязаны все 7 сортов этих монет присутствовать. Может быть такая ситуация, что во всех N мешках находятся только одни настоящие монеты, или во всех N мешках находятся только фальшивые монеты с весом 9 грамм. Или могут быть любые более сложные ситуации, когда часть мешков занята одним сортом монет, часть мешков другим сортом монет и т.д. И нам неизвестно в каком порядке чередуются в этих мешках эти монеты.

На первый взгляд, эта задача кажется не имеющая решения. И, тем не менее, за одно взвешивание можно определить всё распределение всех сортов монет по всем мешкам.

Решение этой красивой задачи смотрите здесь.