ГиперКуб

Эволюция человеческого мозга проходила в трехмерном пространстве. Поэтому нам сложно представить себе пространства с размерностью больше трех. Фактически человеческий мозг не может себе представить геометрические объекты с размерностью более трех. И в то же время мы без труда представляем себе геометрические объекты с размерностью не только три, но и с размерностью два и один.

Различие и аналогия между одномерным и двумерным пространствами, а также различие и аналогия между двумерным и трехмерным пространствами позволяют нам чуть-чуть приоткрыть ширму таинственности, которая отгораживает нас от пространств большей размерности. Чтобы понять, как используется эта аналогия, рассмотрим очень простой четырехмерный объект - гиперкуб, то есть четырехмерный куб. Пусть для определенности, допустим, мы хотим решить конкретную задачу, а именно, посчитать количество квадратных граней четырехмерного куба. Всё рассмотрение далее будет очень нестрогим, без всяких доказательств, чисто по аналогии.

Чтобы понять, как строится гиперкуб из обычного куба, надо сначала посмотреть, как строится обычный куб из обычного квадрата. Для оригинальности изложения этого материала, будем здесь обычный квадрат называть СубКубом (и не будем путать его с суккубом).

Чтобы построить куб из субкуба, надо протянуть субкуб в направлении перпендикулярном плоскости субкуба по направлению третьего измерения. При этом из каждой стороны первоначального субкуба вырастет субкуб, который является боковой двумерной гранью куба, которые ограничат с четырех сторон трехмерный объем куба, по две перпендикулярно каждому направлению в плоскости субкуба. И вдоль новой третьей оси тоже имеются два субкуба, ограничивающие трехмерный объем куба. Это та двумерная грань, где первоначально находился наш субкуб и та двумерная грань куба, куда субкуб пришел под конец строительства куба.

То, что Вы сейчас прочитали, изложено чрезмерно подробно и с массой уточнений. И не спроста. Сейчас мы сделаем такой фокус, заменим в предыдущем тексте некоторые слова формально таким образом:
куб -> гиперкуб
субкуб -> куб
плоскость -> объем
третьего -> четвертого
двумерной -> трехмерной
четырех -> шести
трехмерный -> четырехмерный
две -> три
плоскости -> пространстве

В результате получаем следующий осмысленный текст, который уже не кажется излишне подробным.

Чтобы построить гиперкуб из куба, надо протянуть куб в направлении перпендикулярном объему куба по направлению четвертого измерения. При этом из каждой стороны первоначального куба вырастет куб, который является боковой трехмерной гранью гиперкуба, которые ограничат с шести сторон четырехмерный объем гиперкуба, по три перпендикулярно каждому направлению в пространстве куба. И вдоль новой четвертой оси тоже имеются два куба, ограничивающие четырехмерный объем гиперкуба. Это та трехмерная грань, где первоначально находился наш куб и та трехмерная грань гиперкуба, куда куб пришел под конец строительства гиперкуба.

Почему у нас такая уверенность, что мы получили правильное описание построения гиперкуба? Да потому что точно такой же формальной заменой слов мы получаем описание построения куба из описания построения квадрата. (Проверьте это сами.)

Вот теперь понятно, что если из каждой стороны куба должен вырасти еще один трехмерный куб, то значит, из каждого ребра начального куба должна вырасти грань. Всего у куба ребер 12, значит, появится дополнительно 12 новых граней (субкубов) у тех 6 кубов, которые ограничивают четырехмерный объем по трем осям трехмерного пространства. И остались еще два куба, которые ограничивают этот четырехмерный объем снизу и сверху вдоль четвертой оси. В каждом из этих кубов есть по 6 граней.

Итого получаем, что гиперкуб имеет 12+6+6=24 квадратных граней.

На следующей картинке показано логическое строение гиперкуба. Это как бы проекция гиперкуба на трехмерное пространство. При этом получается трехмерный каркас из ребер. На рисунке, естественно, Вы видите проекцию этого каркаса еще и на плоскость.

Гиперкуб

На этом каркасе внутренний куб это как бы начальный куб, с которого началось построение и который ограничивает четырехмерный объем гиперкуба по четвертой оси снизу. Мы этот начальный куб протягиваем вверх вдоль четвертой оси измерения и он переходит во внешний куб. Итак внешний и внутренний кубы из этого рисунка ограничивают гиперкуб по четвертой оси измерения.

А между этими двумя кубами видно еще 6 новых кубов, которые соприкасаются общими гранями с первыми двумя. Эти шесть кубов ограничивают наш гиперкуб по трем осям трехмерного пространства. Как видите, они соприкасаются не только с первыми двумя кубами, которые на этом трехмерном каркасе внутренний и внешний, но они еще соприкасаются друг с другом.

Можно прямо на рисунке посчитать и убедиться, что у гиперкуба действительно 24 грани. Но вот возникает такой вопрос. Этот каркас гиперкуба в трехмерном пространстве заполнен восемью трехмерными кубами без всяких просветов. Чтобы из этой трехмерной проекции гиперкуба сделать настоящий гиперкуб, надо вывернуть этот каркас наизнанку так, чтобы все 8 кубов ограничивали 4-мерный объем. Делается это так. Приглашаем в гости жителя четырехмерного пространства и просим его помочь нам. Он хватает внутренний куб этого каркаса и сдвигает его в направлении четвертого измерения, которое перпендикулярно нашему трехмерному пространству. Мы в нашем трехмерном пространстве воспринимаем это так, как будто бы весь внутренний каркас исчез и остался только каркас внешнего куба.

Далее наш четырехмерный помощник предлагает свою помощь в роддомах по безболезненным родам, но наших беременных женщин пугает перспектива того, что младенец просто исчезнет из живота и окажется в параллельном трехмерном пространстве. Поэтому четырехмерцу вежливо отказывают. А мы озадачиваемся вопросом, не расклеились ли некоторые из наших кубов при выворачивании каркаса гиперкуба наизнанку. Ведь если какие-то трехмерные кубы, окружающие гиперкуб, соприкасаются своими гранями с соседями на каркасе, то будут ли они также соприкасаться этими же гранями, если четырехмерец вывернет каркас наизнанку.

Опять обратимся к аналогии с пространствами меньшей размерности. Сравните изображение каркаса гиперкуба с проекцией трехмерного куба на плоскость, показанную на следующей картинке.

Каркас двумерной проекции куба

Жители двумерного пространства построили на плоскости каркас проекции куба на плоскость и пригласили нас, трехмерных жителей, выворачивать этот каркас наизнанку. Мы берем четыре вершины внутреннего квадрата и сдвигаем их перпендикулярно плоскости. Двумерные жители при этом видят полное исчезновение всего внутреннего каркаса, и у них остается только каркас внешнего квадрата. При такой операции все квадраты, которые соприкасались своими ребрами, продолжают по-прежнему соприкасаться теми же самыми ребрами.

Поэтому мы надеемся, что и логическая схема гиперкуба также не будет нарушена при выворачивании каркаса гиперкуба наизнанку, а число квадратных граней гиперкуба при этом не увеличится и будет по-прежнему равно 24. Это, конечно же, никакое не доказательство, а чисто догадка по аналогии.

После всего прочитанного здесь, Вы уже без труда сможете нарисовать логические каркасы пятимерного куба и подсчитать, какое у него число вершин, ребер, граней, кубов и гиперкубов. Это совсем не трудно.