Основные открытия в математике

Как-то раз по просьбе одного человека я составил свой список основных открытий в математике. Список был опубликован на одном из форумов.

Этот список, конечно же, имеет субъективный характер. Кроме того, возможно я забыл упомянуть кого-то из математиков, кто имел отношение к открытию или решению проблемы из списка.

На тот форум практически уже не захожу. Поэтому перенес этот список сюда и дал к нему более подробные пояснения.

  1. Открытие нуля. Это произошло в Индии, примерно в пятом веке до нашей эры. Это открытие нуля было революционным, так как впервые математики начали работать с таким объектом, который не имел отношение к реальности. Ведь реальность, это само по себе не пустота, так сказать, по определению. Но существование нуля в математике диктовалось самим развитием математики.
    В дальнейшем, понятие нуля привело к появлению в математике отрицательных чисел и к теории алгебраических уравнений. При решении алгебраических уравнений существенным моментом является перенос членов уравнения из одной части равенства в другую с одновременной сменой знака. Не имея понятия отрицательного числа, такие действия делать было бы невозможно.
    Мы не знаем имя изобретателя нуля. А вот имя создателя теории алгебраических уравнений хорошо известно. Это был Аль-Хорезми, который жил в 8-9 веках. От его имени происходит слово "алгоритм". В названии его книги по алгебре содержалось слово "аль-джебр" (восстановление), от которого и произошло название "алгебра".
  2. Открытие иррациональных чисел. Это произошло в Древней Греции и это открытие сделал Пифагор в 6-5 веках до нашей эры. После того как Пифагор доказал свою знаменитую теорему, названную его именем, о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, появилась возможность вычислять гипотенузы прямоугольных треугольников, зная длины катетов. При рассмотрении треугольника с единичными катетами, Пифагор обнаружил удивительно простое доказательство того факта, что гипотенуза такого треугольника принципиально не выражается в виде отношения целых чисел, то есть не является рациональным числом. Пифагор назвал такие числа иррациональными.
    Это открытие на столько поразило Пифагора, что он держал его в тайне. Пифагор сообщил о своем открытии только некоторым своим ученикам, взяв с них клятву на магическом числе 36 не разглашать эту тайну. Но один из учеников не выдержал и распространил знания об иррациональных числах. Легенда гласит, что боги, узнав о нарушении клятвы на числе 36, были так сильно возмущены, что потопили корабль, на котором плыл тот ученик.
    Открытие иррациональных чисел привело к возникновению понятия вещественного числа и понятию непрерывность. А уже понятие непрерывности привело к построению математических основ геометрии, математического анализа и топологии.
  3. Открытие дифференциального и интегрального исчисления. Считается, что создателями дифференциального и интегрального исчисления были Ньютон и Лейбниц (конец 17-го и начало 18-го веков). Но на самом деле еще Кеплер решил задачу о нахождении объема бочки с кривыми боковыми поверхностями. Многие другие математики также в то время уже решили кое-какие задачи из области интегрального и дифференциального исчисления. Заслуга Ньютона и Лейбница в том, что они обобщили все эти методы в одну теорию, которая базируется на понятии бесконечно малой величины.
    На дифференциальном и интегральном исчислении базируется вся современная инженерия, астрономия, физика и др. науки, а также вся современная техника. Взрывообразный технический прогресс человечества начинается именно после этого математического открытия. Именно поэтому открытие дифференциального и интегрального исчисления ставят в один ряд с самыми высокими достижениями человеческой культуры, такими, как изобретение денег, колеса, письменности, бухгалтерского учета и компьютера.
  4. Доказательство полноты комплексных чисел. Это открытие сделал Карл Фридрих Гаус в конце 18-го века. До этого доказательства у многих математиков было не очень хорошее отношение к комплексным числам. Они считались неправильными, хотя и признавалась их полезность в том, что они сильно упрощают работу математиков. Доказательство их полноты привело математиков к полному пересмотру своего отношения к этим числам. Из странного инструмента эти числа тут же превратились в самые правильные числа и самые настоящие числа. Все остальные числа стали, в какой-то степени, "ущербными" числа.
    В конце 19 и начале 20 веков Фробениус доказал теорему, названную его именем, из которой следовало, что никакое расширение понятия комплексного числа не дает таких богатых математических свойств, какими обладают комплексные числа.
    Именно поэтому вся современная математика базируется на комплексных числах.
  5. Открытие Фурье-разложения. Это открытие сделал Жан Батист Фурье в начале 19-го века. Он решал задачу о распространении тепла в твердом теле и при этом разлагал функции в тригонометрические ряды. Фурье первоначально дал плохое математическое обоснование своего метода решения. Но в дальнейшем оказалось, что метод разложения в ряд Фурье дает удивительно мощный метод решения многих дифференциальных уравнений. Мало того, оказалось, что метод Фурье-разложения, это самый универсальный метод решения всех систем линейных дифференциальных уравнений в полных и частных производных.
    Далее, оказалось, что функции можно разлагать не только по набору синусов и косинусов, а, вообще, по любому ортогональному набору функций (функции Бесселя, полиномы Эрмита, Лягера, Лежандра и т.д.). Тем самым, метод Фурье-разложения был существенно обобщен. Это всё напоминало то, как обычный вектор можно разложить по базису того пространства, в котором он находится. Потом обнаружилась тесная связь таких разложений с задачами на собственный числа и собственные вектора из алгебры и теории матриц. В последствие это привело к созданию такого раздела математики, как функциональный анализ.
    На методах обобщенного Фурье-разложения базируется, например, вся квантовая механика стационарных состояний и другие разделы физики.
  6. Создание теории групп. Эта теория создавалась в течение 19-го века многими математиками, такими, как Эйлер, Гаус, Галуа, Абель, Кэли, Ли и другие. Исторически теория групп появилась из теории алгебраических уравнений и теории чисел. Уже потом обнаружилось, что эта теория имеет отношение практически ко всем разделам математики. По существу, эта теория связывает все разделы математики в единое целое. В теории групп было получено огромное количество результатов, которые нашли применение в самых разных областях математики. На теории групп базируется теория симметрии, теория представлений, теория преобразований, современная алгебра, дифференциальная геометрия... Чего только на ней не базируется! Это одна из самых продуктивных теорий в математике.
  7. Создание теории множеств. Создателем теории множеств является Георг Кантор, работы которого по данной теории относятся к концу 19 века. Работы Кантора не сразу были приняты ведущими математиками мира. Его работы не просто считались ошибочными, но и самого Кантора считали сумасшедшим. Во многом это было связано с тем, что в этой теории возникло сразу же огромное количество самых разных парадоксов, которые казались неразрешимими.
    Но это была настоящая революция! С этого времени понятие бесконечности стало равноправным математическим объектом и появились строгие правила работы с бесконечностью. А математики так сильно переосмыслили свою науку, что весь современный язык математики базируется на теории множеств. Если Вы не знакомы с теорией множеств, то взяв любую книгу или статью современного профессионального математика, Вы не продвинетесь дальше первой страницы.
  8. Доказательство теоремы Гёделя о неполноте. Доказал Курт Гёдель в начале 20-го века. Это была еще одна революция! Теорема о неполноте показывает, что математика не является замкнутой теорией, в которой всё строго можно доказать и определить на базе формальной логики. В математику обязательно должны быть внесены недоказуемые высказывания и неопределяемые объекты, которые мы понимаем интуитивно. И уже на базе этих высказываний и объектов далее можно строить логическое здание математики.
    Раньше многие думали, что это не так. Например, геометрия Евклида базируется на наборе аксиом и наборе нескольких неопределяемых геометрических объектов (точка, прямая, плоскость и др.). На базе аксиом строго логически доказываются теоремы. А на базе неопределяемых геометрических объектов даются определения всех остальных геометрических объектов (окружность, луч, угол, треугольник и др.). Считалось, что, например, определения этих неопределяемых объектов можно дать в других разделах математики, там, где они определяются. Также и аксиомы, которые не определяются в евклидовой геометрии, можно доказать в других разделах математики. Но дело в том, что в этих других разделах математики есть свои аксиомы и свои неопределяемые математические объекты. Которые можно доказать и определить в третьих разделах математики. И так далее.
    Гёдель показал, что замкнуть этот "хвост" в пределах математики никогда не получится. "Хвост" должен находиться за пределами математики. Поэтому построить всю математику "с нуля" на базе формальной логики не получится. Где-то в самом начале придется сделать какие-то нелогичные вещи. Иначе математику " с нуля" не построить.
  9. Создание теории хаоса. Создание этой теории началось в середине 20-го века и продолжается до сих пор, в том смысле, что продолжается получение таких результатов, которые меняют основы этой теории. К созданию этой теории приложили свою руку такие математики и физики-теоретики, как Пуанкаре, Ляпунов, Биргхоф, Лоренц, Колмогоров, Арнольд, Мандельброт, Фейгенбаум и другие. Теория хаоса появилась на стыке теории нелинейных дифференциальных уравнений и теории вероятности.
    Основным результатом теории хаоса является то, что большинство нелинейных дифференциальных уравнений имеют такие неаналитические решения, которые имеют характеристики случайных вероятностных процессов. Но на самом деле эти решения подчиняются детерминированным законам. Например, если модельную физическую систему, которая подчиняется таким нелинейным дифференциальным уравнениям, снова привести точь-в-точь в первоначальное состояние с абсолютной точностью, то она снова повторит своё предыдущее движение, что говорит об отсутствии каких-либо случайных сил или воздействий. Но сторонний наблюдатель, который изучает эту систему, придет к выводу, что это чисто случайная система.
    Существенным является то, что решения таких нелинейных уравнений являются неустойчивыми в том смысле, что если два начальных условия системы сколь угодно мало отличаются друг от друга, то два решения, которые соответствуют этим двум начальным условиям, могут существенно отличаться друг от друга не только количественно, но и качественно. Это явление получило название "эффект бабочки".
    В результате эффекта бабочки, большинство нелинейных дифференциальных уравнений невозможно решать на компьютере. Дело в том, что любой компьютер производит действия с числами, которые берутся только с ограниченным числом знаков после запятой. Такое отбрасывание всех оставшихся цифр эквивалентно тому, что мы меняем начальные условия системы. Поэтому эффект бабочки может привести к тому, что компьютерное решение не будет иметь ничего общего с реальным поведением системы. Именно этим объясняется то, что несмотря на всю возросшую мощь компьютеров за последние десятилетия, у нас не улучшились ни прогнозы погоды, ни биржевые прогнозы.