История появления комплексных чисел

Итак, если мы имеем дело только с одними вещественными числами, то мы не сможем выполнить с ними некоторые математические операции. В первую очередь, мы не сможем извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, а также мы не сможем извлекать корни четной степени из отрицательных чисел.

Но формально эти квадратные корни из отрицательных чисел ведут себя подобно обычным числам. Этот факт, конечно же, математики заметили еще при решении алгебраических квадратных и кубических уравнений. Скорее всего, мнимые величины впервые были упомянуты в 1545 году в известной работе Кардано "Великое искусство, или об алгебраических правилах". Существует легенда о том, что формулу Кардано открыл совсем не Кардано, а какой-то другой итальянский математик, а Кардано просто украл у него эту формулу. Когда тот математик пришел к дому Кардано и стал на всю улицу кричать, что Кардано вор и мошенник, то Кардано вышел из дома с палкой и побил его. Тем самым вопрос о приоритете научного открытия был решен в духе того времени. Имя Кардано вошло во все учебники математики, как имя человека открывшего аналитическую формулу решения алгебраического кубического уравнения.

Не знаю из-за этого или по другой причине, но Кардано не понял значения мнимых величин и считал их непригодными для использования в математике. Мнимые величины вылезают и при использовании аналитической формулы решения алгебраических уравнений четвертой степени. Если бы существовали аналитические формулы решений алгебраических уравнений пятой, шестой и т.д. степеней, то без сомнения и там бы вылезали квадратные корни из отрицательных чисел. Но, как показал Галуа на основе теории групп, такие общие решения не существуют, которые выражены только через дробно-рациональные функции, степени и радикалы.

Долгое время отношение математиков к мнимым величинам было на грани мистики. Поражало то, что не смотря на то, что этих чисел нет, но, тем не менее, они формально являются настоящими решениями уравнений. Лейбниц, например, считал корень квадратный из единицы настоящим уродцем из мира идей, которого создал господь бог и поместил между бытием и небытием.

Понадобился гений Эйлера, чтобы признать мнимые числа настоящими числами и распространить вычисления с этими числами на все разделы математики. Именно Эйлеру и принадлежит гениальная догадка о том, что комплексные числа являются алгебраически замкнутыми относительно всех алгебраических операций. То есть не существует таких алгебраических операций над комплексными числами, которые невозможно было бы сделать, не выходя за рамки комплексных чисел. Другими словами, нам уже не придется придумывать какие-то новые расширения понятия числа, такие, что комплексные числа являются только частным случаем этих более общих чисел. Подобно тому, как вещественные числа оказались частным случаем комплексных чисел, а рациональные числа оказались частным случаем вещественных чисел.

Независимо от Эйлера, к такой же догадке пришел и Д`Аламбер в середине 18 века. Но первое строгое доказательство этого факта сумел получить Гаусс в 1799 году. Из этого факта следует две самых знаменитых теорем математики. Это основная теорема алгебры о том, что любой многочлен степени n с комплексными корнями всегда имеет n корней, которые в общем случае также комплексные. И теорема в теории функций комплексного переменного об аналитическом продолжении комплексной функции комплексного переменного, где говорится, что если мы знаем все значения такой аналитической функции на каком-то участке, то мы можем однозначно узнать все её значения за пределами этого участка.

Почему же не существует таких алгебраических операций, которые могут привести к недостаточности комплексных чисел?

Чтобы ответить на этот вопрос, сначала разберемся, почему математикам ранее постоянно не хватало чисел, и понятие числа приходилось постоянно расширять.

Натуральных чисел стало не хватать, когда появилась операция вычитание, которая является обратной к операции сложения. А целых чисел стало не хватать, когда появилась операция деление, которая является обратной операцией к умножению.

Но что такое умножение? Умножение это всего лишь многократное сложение. Поэтому любое умножение мы можем представить как многократное сложение. Но с делением этот трюк уже не проходит. Мы не можем представить деление в виде многократного вычитания. Это получается только, когда делимое делится нацело на свой делитель. Если же остается какой-то остаток, то его приходится уже делить в любом случае, а не вычитать из него делитель. Таким образом деление не сводится к вычитанию.

Та же самая ситуация наблюдается и в случае извлечения корня. Что такое возведение числа в степень? Это всего лишь многократное умножение. Таким образом, операцию возведения в степень можно выразить через умножение. Но вот извлечение корней уже не сводится к многократному делению. Извлечение корня какой-нибудь степени можно свести к последовательному делению только в том случае, когда такие делители можно подобрать целое число раз. В противном случае надо делать честное извлечение корня.

Казалось бы, дальше надо делать всё по аналогии. Давайте введем новую супер-операцию, которая представляет собой многократное возведение в степень, и посмотрим, как работает обратная к ней операция.

И тут оказывается, что ничего нового нетривиального мы уже не получаем. Многократное возведение числа в степень сводится к возведению этого числа в такую степень, которая является произведением показателя этой степени на число раз возведения. То есть опять получаем возведение в степень. И обратная операция к этой супер-операции снова сводится к простому извлечению корня. Мы не получаем ничего принципиально нового. Поэтому, если из комплексных чисел извлекаются любые корни, то будет работать и любая операция обратная к нашей введенной супер-операции. И значит, мы не получим такой ситуации, когда нам нужно будет расширить понятие числа до более широкого, чем понятие комплексных чисел.

Тем не менее, в математики известны другие модели чисел. С одной стороны, это более бедные по своим свойствам расширения комплексных чисел, такие как кватернионы и октавы Кэлли. Кватернионы не являются коммутативными относительно операции умножения, то есть произведение двух кватернионов меняется при перестановке сомножителей, в общем случае не выполняется равенство AB=BA. Относительно операции сложения кватернионы остаются коммутативными. Числа Кэлли уже не только некоммутативные, но еще и не ассоциативные по отношению к операции умножения. То есть, результат умножения окав Кэлли зависит от порядка расстановки скобок, в общем случае не выполняется равенство (AB)C=A(BC).

С другой стороны, математикам известны коммутативные и ассоциативные модели чисел более широкие, чем комплексные числа, но обладающие довольно экзотическими свойствами. Это такие модели чисел, которые имеют делители нуля. То есть там могут существовать два таких числа A и B не равные нулю, произведение которых равно нулю: AB=0. Понятно, что ни комплексные числа, ни вещественные, ни рациональные не имеют никаких делителей нуля относительно обычного умножения. Простейший пример делителей нуля можно увидеть на примере векторного произведения векторов. Любые два параллельных ненулевых вектора являются делителями нуля, так как их произведение дает нам нулевой вектор. Но вектора относительно векторного произведения не образуют настоящее поле чисел, так как в этом случае не определена операция обратная к векторному произведению векторов, такая операция деления векторов неоднозначная.

Существует теорема Фробениуса, которая показывает, что только поле комплексных чисел является единственной математической конструкцией, которая является алгебраически замкнутой, не имеет делителей нуля и сохраняет все свойства вещественных чисел (коммутативность и ассоциативность). Грубо говоря, комплексные числа это самые главные числа в математике.

Поэтому многие математические положения на языке комплексных чисел формулируются очень кратко и изящно. Доказательства многих теорем становится очень компактным и простым. Вычисления в технике и в таких науках, как физика, механика, астрономия, резко упрощаются.